Question

4．已知橢圓W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$．
（Ⅰ）求橢圓W的方程和離心率；
（Ⅱ）若橢圓W與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于N，E為線段MN的中點(diǎn)，直線AE與直線y=-1交于點(diǎn)C，G為線段BC的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求∠OEG的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，求出a，b，由此能求出橢圓W的方程和離心率．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），x₀≠0，則N（0，y₀），E（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），從而直線AE的方程為y-1=$\frac{2（{y}_{0}-1）}{{x}_{0}}x$，令y=-1，則C（$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，-1），從而G（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），由點(diǎn)M在橢圓P上，得到$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{EG}$，由此能求出∠OEG．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓W：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{3}，0）$，
∴a=2，c=$\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{4-3}$=1，
∴橢圓W的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），x₀≠0，則N（0，y₀），E（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），
又A（0，1），∴直線AE的方程為y-1=$\frac{2（{y}_{0}-1）}{{x}_{0}}x$，
令y=-1，則C（$\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，-1），
又B（0，-1），G為BC的中點(diǎn)，∴G（$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，-1），
∴$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}，{y}_{0}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}-\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$，y₀+1），
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{{x}_{0}}{2（1-{y}_{0}）}$）+y₀（y₀+1）
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}$+${{y}_{0}}^{2}$+y₀，
∵點(diǎn)M在橢圓P上，則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
∴${{x}_{0}}^{2}$=4-4y₀²，
$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{GE}$=$1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4（1-{y}_{0}）}$=1-y₀-1+y₀=0，
$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{EG}$，
∴∠OEG=90°．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查解的大小的求法，考查橢圓、直線方程、向量等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．