(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]  時(shí),求函數(shù)f(x)
的值域.
分析:(I)利用角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式為2sin(2x+
π
6
)
,由此根據(jù)周期公式即可求得f(x)的最小正周期.
(II)當(dāng) x∈[0,
π
2
]
 時(shí),2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
,求出sin(2x+
π
6
)
的范圍,即可求得函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(I)∵f(x)=
3
sin2x+sin(
π
2
+2x)
…(3分)
=
3
sin2x+cos2x
…(4分)
=2sin(2x+
π
6
)
.…(6分)
故f(x)的最小正周期為π.…(8分)
(II)當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),2x+
π
6
∈[
π
6
6
]
,…(10分)
sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
,…(12分)
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,2]. …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的周期性以及求法,屬于中檔題.
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(2011•廣東模擬)給定函數(shù)f(x)=
x2
2(x-1)

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列{an}滿足,4Sn•f(
1
an
)=1
,求證:-
1
an+1
ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設(shè)bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列 {bn} 的前n項(xiàng)和,求證:T2012-1<ln2012<T2011

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(2011•廣東模擬)已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=
2-x2
}
,則M∩N=( 。

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(2011•廣東模擬)已知函數(shù)f(x)=
a-x
+
x
(a∈N*),對(duì)定義域內(nèi)任意x1,x2,滿足|f(x1)-f(x2)|<1,則正整數(shù)a的取值個(gè)數(shù)是
5
5

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(2011•廣東模擬)已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,1),B(1,0),P(x,y)為線段AB上不與端點(diǎn)重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則(x+
1
x
)(y+
1
y
)
的最小值為
25
4
25
4

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