Question

已知函數f（x）=x（x-3）²，x∈[0，+∞），存在區(qū)間[a，b]⊆[0，+∞），使得函數f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]，則最小的k值為（ ）
A．1
B．4
C．9
D．

Answer 1

【答案】分析：先利用導數研究函數的單調性和極值，然后由函數y=f （x）的定義域為[a，b]，值域為[ka，kb]可判斷出k＞0，結合函數的單調性討論a、b，建立方程，即可得到實數k的取值范圍，從而求出最小值．
解答：解：∵f（x）=x（x-3）²=x³-6x²+9x    x∈[0，+∞），
∴f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當x∈[0，1]時f′（x）≥0，則函數在[0，1]上單調遞增
當x∈[1，3]時f′（x）0，則函數在[1，3]上單調遞減
當x∈（3，+∞）時f′（x）＞0，則函數在（3，+∞）上單調遞增
∴當x=1時，函數取極大值4，當x=3時，函數取極小值0．
（1）當a，b∈[0，1]時，f（x）在[0，1]上為增函數，
∴即在[0，1]上存在兩個不等的實數使得（x-3）²=k
而（x-3）²在[0，1]上單調遞減，故不存在；
（2）當a，b∈[1，3]時，f（x）在[1，3]上為減函數，
∴即a=b，此時實數a，b的值不存在．
（3）當a，b∈（3，+∞）時，f（x）在（3，+∞）上為增函數，
∴即在（3，+∞）上存在兩個不等的實數使得（x-3）²=k
而（x-3）²在（3，+∞）上單調遞增，故不存在；
（4）當a∈[0，1），b∈[1，3]時，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
∴k=∈[，4]
（5）當a∈（1，2），b∈[3，+∞）時，3∈[a，b]，f（3）=0=ka
根據題意可知k＞0
∴a=0，不可能
（6）當a∈[0，1），b∈[3，+∞）時，3∈[a，b]，f（3）=0=ka，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根據題意可知k＞0
∴a=0，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴3≤b≤4而k=∈[1，]
（7）當a∈[0，1），b∈[4，+∞）時，4∈[a，b]，f（4）=1，1∈[a，b]，f（1）=4=kb
根據題意可知k＞0，∴a=1，
令f（x）=x（x-3）²=4解得x=1或4
∴b=4而k==1．
綜上所述：k∈[1，4]
最小的k值為1
故選A．
點評：本題主要考查了函數與方程的綜合應用，利用導數研究函數的單調性和極值，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，同時考查了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，屬于難題．