Question

（1）已知函數(shù)f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上為減函數(shù)；[

2

，+∞）上為增函數(shù)．請你用單調(diào)性的定義證明：f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上為減函數(shù)；
（2）判定并證明f（x）=x+

2

x

在定義域內(nèi)的奇偶性；
（3）當x∈（-∞，0）時，根據(jù)對稱性寫出函數(shù)f（x）=x+

2

x

的單調(diào)區(qū)間（只寫出區(qū)間即可），并求出f（x）在x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)定義，設(shè)0＜x₁＜x₂＜

2

，通過作差法證明即f（x₁）＞f（x₂），即證明函數(shù)為減函數(shù)；
（2）根據(jù)定義，驗證f（-x）=-f（x）成立，即證明函數(shù)是奇函數(shù)；
（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在[-2，-1]上的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的最大、最小值，可得值域．

解答：解：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂＜

2

，
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜

2

，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜2，∴x₁x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

2

）上是減函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可知：
函數(shù)f（x）在（-∞，-

2

）上遞增；在（-

2

，0）上遞減，
∴f（x）在[-2，-

2

]上遞增；在[-

2

，-1]上遞減；，
∴在[-2，-

2

）上，-3≤f（x）≤f（-

2

）=-2

2

；
在[-

2

，-1]上，-2

2

≥f（x）≥f（-1）=-3；
∴f（x）在x∈[-2，-1]的值域為[-3，-2

2

．

點評：本題考查了用定義法判斷與證明函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求函數(shù)的值域或最值，熟練掌握函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義是解答本題的關(guān)鍵．