Question

6．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體外接球的表面積為（　�。�

• A． 41π
• B． $\frac{41π}{2}$
• C． 48π
• D． 24π

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖作出四面體的直觀圖，根據(jù)四面體的結(jié)構(gòu)特征尋找外接球的球心位置．計算外接球的半徑．

解答 解：作出四面體的直觀圖如圖所示，SA⊥平面ABC，BC⊥AB，其中SA=AB=4，BC=3．
∵∠ABC=90°，∴AC是平面ABC所在截面圓的直徑，過AC的中點P作PM⊥平面ABC，交SC于M點，則M為SC的中點，
∵∠SAB=90°，∴SB是平面SAB所在截面圓的直徑，過SB的中點N作平面SAB的垂線，顯然MN為平面SAB的垂線，
∴M為四面體外接球的球心．
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，∴SC=$\sqrt{S{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∴四面體外接球的半徑r=$\frac{1}{2}SC$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．
∴四面體外接球的表面積S=4πr²=41π．
故選A．

點評 本題考查了空間幾何體的三視圖及棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．