Question

16．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC₁=6，M是棱CC₁上一點．
（1）若M、N分別是CC₁、AB的中點，求證：CN∥平面AB₁M；
（2）求證：不論M在何位置，三棱錐A₁-AMB₁的體積都為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）取AB₁中點P，連結(jié)MP，NP，則四邊形MCNP是平行四邊形，得出CN∥MP，從而CN∥平面AB₁M．
（2）V${\;}_{棱錐{A}_{1}-AM{B}_{1}}$=V${\;}_{棱錐M-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$•CN．只需證明CN⊥平面AB₁BA₁即可．

解答 證明：（1）取AB₁中點P，連結(jié)MP，NP，
∵P是AB₁的中點，N是AB的中點，∴PN∥BB₁，PN=$\frac{1}{2}B{B}_{1}$，
∵M是CC₁的中點，∴CM∥BB₁，CM=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴CM∥PN，CM=PN，∴四邊形MCNP是平行四邊形，
∴CN∥MP，∵MP?平面AB₁M，CN?AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M．
（2）∵△ABC是等邊三角形，∴CN⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，PN∥BB₁，
∴PN⊥平面ABC，∵CN?平面ABC，
∴PN⊥CN，又∵AB?平面ABB₁A₁，PN?平面ABB₁A₁，AB∩PN=N，
∴CN⊥平面AB₁BA₁，
∵CN=$\sqrt{A{C}^{2}-A{N}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱錐{A}_{1}-AM{B}_{1}}$=V${\;}_{棱錐M-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A{A}_{1}{B}_{1}}$•CN=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×3\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．
∴不論M在何位置，三棱錐A₁-AMB₁的體積都為定值18$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，是中檔題．