Question

①（不等式選做題）不等式x+|2x-1|＜α的解集為∅，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是

α≤

1

2

．
②（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0＜θ≤2π中，曲線ρ（cosθ+sinθ）=2與ρ（sinθ-cosθ）=2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為

（2，

π

2

）

．

Answer 1

分析：①欲使得不等式x+|2x-1|＜α的解集為∅，只須a小于等于函數(shù)x+|2x-1|的最小值即可，利用絕對值不等式的性質(zhì)求出此函數(shù)的最小值即可．
②先把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)化為極坐標(biāo)．

解答：解：①不等式x+|2x-1|＜a的解集為∅，
又當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，x+|2x-1|=x+2x-1=3x-1＞

1

2

，
當(dāng)x≤

1

2

時(shí)，x+|2x-1|=x+1-2x=1-x≥

1

2

，
∴x+|2x-1|的最小值為

1

2

，故α≤

1

2

；
②曲線ρ（cosθ+sinθ）=2，即 x+y=2，ρ（sinθ-cosθ）=2，即  y-x=2，
聯(lián)立方程組，解得 x=0，y=2，故兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），此點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的y軸上，
故交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 （2，

π

2

），
故答案為：①α≤

1

2

，②（2，

π

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值不等式的解法、空集的含義及考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于基礎(chǔ)題．