試題分析:本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點乘、平面內(nèi)兩點間距離公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用兩個點關(guān)于直線對稱,列出方程組,解出
,即得到圓心坐標(biāo),再利用點到直線的距離求半徑,寫出圓的方程,利用向量的點乘列出式子,數(shù)形結(jié)合找出最小值;第二問,利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程,得出
兩點的橫坐標(biāo),利用斜率公式寫出式子,判斷兩個斜率是否相等.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)圓心
,則
中點坐標(biāo)為
, 1分
∵圓心
與點
關(guān)于直線
對稱,
∴
,解得
, 3分
∴圓心
到直線
的距離
, 4分
∴求圓
的方程為
. 5分
設(shè)
,則
,
∴
, 6分
作直線
:
,向下平移此直線,當(dāng)與圓
相切時
取得最小值,這時切點坐標(biāo)為
,
所以
·
的最小值為-4. 8分
(Ⅱ)由題意知,直線
和直線
的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)
:
,
:
,由
,得
.
因為點
的橫坐標(biāo)
一定是該方程的解,故可得
,同理,
,
則
.
所以,直線
和
一定平行. 14分