Question

（本小題滿分14分） 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)與的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N，求的取值范圍；（3）在（Ⅱ）的條件下，過線段MN的中點(diǎn)作軸的垂線分別與的圖像和的圖像交S、T點(diǎn)，以S為切點(diǎn)作的切線，以T為切點(diǎn)作的切線．是否存在實(shí)數(shù)使得，如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在實(shí)數(shù)

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)與的圖象的公共點(diǎn)，則有  ①
又在點(diǎn)P有共同的切線∴代入①得設(shè)所以函數(shù)最多只有1個(gè)零點(diǎn)，觀察得是零點(diǎn)，∴，此時(shí)…5分
（Ⅱ）方法1 由
令
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，且
所以在處取到最大值，
所以要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有   10分
方法2 根據(jù)（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，兩曲線切于點(diǎn)，此時(shí)變化的的對稱軸是，而是固定不動(dòng)的，如果繼續(xù)讓對稱軸向右移動(dòng)即，兩曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，開口向下，只有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合，所以.
（Ⅲ）不妨設(shè)，且，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為
以S為切點(diǎn)的切線的斜率
以T為切點(diǎn)的切線的斜率
如果存在使得，即         ①
而且有和
如果將①的兩邊同乘得

即 設(shè)，則有
令 
∵，∴因此在上單調(diào)遞增，故
所以不存在實(shí)數(shù)使得．…………… 14分