Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點A在x軸的非正半軸上運動，點B在y軸上運動，滿足0，A關(guān)于點B的對稱點為M，設(shè)點M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點G（3，﹣2），動直線x＝t（t＞3）與C相交于P，Q兩點，求過G，P，Q三點的圓在直線y＝﹣2上截得的弦長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），運用向量的數(shù)量積的坐標表示和中點坐標公式，結(jié)合代入法，化簡可得所求曲線C的方程；

（2）設(shè)P（t，2），Q（t，﹣2），設(shè)E（m，0），由|EG|＝|EP|，運用兩點的距離公式，求得圓E的方程，再令y＝﹣2，求得圓在直線y＝﹣2上截得的弦長，結(jié)合基本不等式，即可得到所求最小值.

（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），

由點F（1，0），0，所以，

又B為AM的中點，

所以0，b，所以a＝﹣x，

將代入可得

所以C的方程為；

（2）由（1）可得拋物線C的方程為，令x＝t，可得，

設(shè)P（t，2），Q（t，﹣2），由P，Q關(guān)于x軸對稱，

所以過G，P，Q三點的圓E的圓心在x軸上，

設(shè)E（m，0），由|EG|＝|EP|，G（3，﹣2），

可得，

化簡整理可得m，

圓E的方程為

令y＝﹣2，可得

所以圓E在直線y＝﹣2上截得的弦長為

又因為且

所以，

所以，

當且僅當即時取得等號.

所以當t＝3+2時，圓E在直線y＝﹣2上截得的弦長的最小值為4+4.