已知離心率為
6
3
的橢圓C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(
3
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)過左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),若
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.
(1)依題意,離心率為
6
3
的橢圓C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(
3
,1)

3
a 2
+
1
b2
=1
,且e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
2
3

解得:a2=6,b2=2
故橢圓方程為
x2
6
+
y2
2
=1
…(4分)
(2)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(-2,0),則直線l的方程可設(shè)為y=k(x+2)
代入橢圓方程得:(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-
12k2
3k2+1
,x1x2=
12k2-6
3k2+1
…(6分)
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
得:|
OM
|•|
ON
|sin∠MON=
4
3
6
,
S△OMN=
2
3
6
…(9分)
|MN|=
1+k2
|x1-x2|=
2
6
(1+k2)
3k2+1
,原點(diǎn)O到l的距離d=
|2k|
1+k2
,
S△OMN=
1
2
|MN|d
=
6
(1+k2)
3k2+1
|2k|
1+k2
=
2
3
6

解得k=±
3
3

∴l(xiāng)的方程是y=±
3
3
(x+2)
…(13分)
(用其他方法解答參照給分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(diǎn)M(
6
,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若直線l是圓O:x2+y2=
8
3
的一條切線,試證明∠AOB=
π
2
.它的逆命題成立嗎?若成立,請給出證明;否則,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知離心率為
6
3
的橢圓C:
x2
a 2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(
3
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)過左焦點(diǎn)F1且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),若
OM
ON
=
4
6
3tan∠MON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知離心率為
3
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(diǎn)M(2,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的方程.
(2)證明:直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•德陽三模)已知離心率為
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)M(
6
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知與圓x2+y2=
8
3
相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求
OA
OB
的值.

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同步練習(xí)冊答案