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11.設f(x)=|2-x 2|,若0<a<b且f(a)=f(b),則a+b的取值范圍是( �。�
A.(0,2)B.( 2,2)C.(2,4)D.(2,2 2

分析 根據(jù)f(x)=|2-x2|,結合f(a)=f(b),得f(a)=2-a2且f(b)=b2-2,所以a2+b2=4,且0<a<2<b.令a=2cosα,b=2sinα,得a+b=2cosα+2sinα=22sin(α+\frac{π}{4}
結合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得a+b的取值范圍.

解答 解:∵f(x)=|2-x2|,0<a<b且f(a)=f(b),
∴0<a<\sqrt{2}<b,且f(a)=2-a2,f(b)=b2-2,
因此,2-a2=b2-2,得a2+b2=4,
令a=2cosα,b=2sinα,
∵0<a<\sqrt{2}<b,∴\frac{π}{4}<α<\frac{π}{2}
則a+b=2cosα+2sinα=2\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4}
\frac{π}{2}<α+\frac{π}{4}\frac{3π}{4}
∴sin(α+\frac{π}{4})∈(\frac{\sqrt{2}}{2},1),得2\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})∈(2,2\sqrt{2}
即a+b的取值范圍是(2,2\sqrt{2}
故選D

點評 本題以含有絕對值的二次函數(shù)為載體,考查了函數(shù)圖象的對稱性、三角換元法求函數(shù)值域和不等式恒成立等知識,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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