Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若s₅=4a₄-1且a₄是a₁與a₁₃的等比中項(xiàng)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=

1

Sn

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且T_n≤m對(duì)n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

5a1+10d=4(a1+3d)-1 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，得b_n=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合題設(shè)條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
S₅=4a₄-1且a₄是a₁與a₁₃的等比中項(xiàng)，
∴

5a1+10d=4(a1+3d)-1 (a1+3d)2=a1(a1+12d) d≠0

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵a₁=3，d=2，∴S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴b_n=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

，
∵T_n≤m對(duì)n∈N^*都成立，∴m≥

3

4

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．