Question

在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，若cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，則

AC

AD

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：由cos∠BAD與cos∠CAD的值求出sin∠BAD與sin∠CAD的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式求出cos∠BAC的值，確定出∠BAC的度數(shù)，由D為BC的中點(diǎn)，利用等底同高的兩個(gè)三角形面積相等得到三角形ABD與三角形ACD面積相等，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，整理得到AC=

2

AB，在三角形ABC中，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理得到AB=BC，即三角形ABC為等腰直角三角形，進(jìn)而求出AC與AD的長(zhǎng)，即可求出所求之比．

解答： 解：∵cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，
∴sin∠BAD=

5

5

，sin∠CAD=

10

10

，
∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
∴∠BAC=45°，
由D為BC的中點(diǎn)，得到S_△ABD=S_△ACD，即

1

2

AB•ADsin∠BAD=

1

2

AC•ADsin∠CAD，
整理得：AC=

2

AB，
在△ABC中，利用余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=AB²+2AB²-2AB²，即BC=AB，
∴△ABC為等腰直角三角形，即∠ABC=90°，
設(shè)AB=BC=2，則有BD=CD=1，AD=

5

，AC=2

2

，
則

AC

AD

=

2 2

5

=

2 10

5

，
故答案為：

2 10

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．