Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+bx

x3

，其中a，b不全為0
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）若f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)求出，a，b的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）f（-x）=

ax2-bx

-x3

，
若f（-x）=-f（x），
則

ax2-bx

-x3

=-

ax2+bx

x3

，
即ax²-bx=ax²+bx，
即-bx=bx，
即b=0，此時函數(shù)為奇函數(shù)，
若f（-x）=f（x），
則

ax2-bx

-x3

=

ax2+bx

x3

，
即-ax²+bx=ax²+bx，
即-ax²=ax²，
即a=0，此時函數(shù)為偶函數(shù)，
若a≠0，b≠0，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
即a=0，b≠0，函數(shù)為偶函數(shù)，
若b=0，a≠0，則函數(shù)奇函數(shù)．
若a≠0，b≠0，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（2）若f（x）為偶函數(shù)，由（1）知，a=0，b≠0，
則f（x）=

ax2+bx

x3

=

b

x2

，
若在（0，+∞）上遞增，
則b＜0．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．