Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（Ⅰ）求證：A₁F⊥C₁E；
（Ⅱ）當三棱錐B₁-BEF的體積取得最大值時，求二面角B₁-EF-B的正切值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：設AE=BF=x．以D為原點建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標
（Ⅰ）通過計算

A1F

•

C1E

=0，證明A₁F⊥C₁E．
（Ⅱ）判斷當S_△BEF取得最大值時，三棱錐B₁-BEF的體積取得最大值．求出平面B₁EF的法向量，底面ABCD的法向量，設二面角B₁-EF-B的平面角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求出cosθ=

1

3

，然后求解二面角B₁-EF-B的正切值．

解答： 解：設AE=BF=x．以D為原點建立空間直角坐標系，得下列坐標：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），C₁（0，2，2），E（2，x，0），F(xiàn)（2-x，2，0）．
（Ⅰ）因為

A1F

=(-x，2，-2)，

C1E

=(2，x-2，-2)，
所以

A1F

•

C1E

=(-x，2，-2)•(2，x-2，-2)=0．
所以A₁F⊥C₁E．…（4分）

（Ⅱ）因為VB1-BEF=

1

3

S△BEF×BB1=

2

3

S△BEF，
所以當S_△BEF取得最大值時，三棱錐B₁-BEF的體積取得最大值．
因為S△BEF=(2-x)x=1-(x-1)2≤1，
所以當x=1時，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點時，三棱錐B₁-BEF的體積取得最大值，此時E，F(xiàn)坐標分別為E（2，1，0），F(xiàn)（1，2，0）．
設平面B₁EF的法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m • B1E =(a，b，c)•(0，-1，-2)=0 m • EF =(a，b，c)•(-1，1，0)=0

得

b+2c=0 a-b=0.

取a=2，b=2，c=-1，得

m

=(2，2，-1)．顯然底面ABCD的法向量為

n

=(0，0，1)．
設二面角B₁-EF-B的平面角為θ，由題意知θ為銳角．
因為cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

1

3

，所以cosθ=

1

3

，于是sinθ=

2 2

3

．
所以tanθ=2

2

，即二面角B₁-EF-B的正切值為2

2

．…（12分）

點評：本題考查空間向量在立體幾何值的應用，直線與直線的垂直，二面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．