Question

3．在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=-2sinθ（0≤θ＜2π），直線l經過點A（4，$\frac{3π}{2}$）與點B（4，$\frac{11π}{6}$），以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C的參數方程與直線l的直角坐標方程；
（2）若點M、N分別在曲線C和直線l上運動，試求M、N兩點的最小距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程為ρ=-2sinθ（0≤θ＜2π），即ρ²=-2ρsinθ，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化為直角坐標方程．點A（4，$\frac{3π}{2}$）化為直角坐標$（4cos\frac{3π}{2}，4sin\frac{3π}{2}）$，同理點B（4，$\frac{11π}{6}$），化為直角坐標．利用斜截式即可得出．
（2）圓心（0，-1）到直線l的距離d．即可得出M、N兩點的最小距離=d-r．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=-2sinθ（0≤θ＜2π），
∴ρ²=-2ρsinθ，化為x²+y²+2y=0，配方為x²+（y+1）²=1．

點A（4，$\frac{3π}{2}$）化為：$（4cos\frac{3π}{2}，4sin\frac{3π}{2}）$，
即A（0，-4），同理點B（4，$\frac{11π}{6}$），化為$（2\sqrt{3}，-2）$．
∴直線l的直角坐標方程為：y=$\frac{-2+4}{2\sqrt{3}}$x-4，即$x-\sqrt{3}y$-4=0．
（2）圓心（0，-1）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-4|}{2}$=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴M、N兩點的最小距離=d-r=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、點與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．