Question

11．設(shè)點(diǎn)P在曲線y=lnx上，點(diǎn)Q在曲線y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）上，點(diǎn)R在直線y=x上，則|PR|+|RQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出兩曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由與直線y=x的平行，可得切點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得最小值，進(jìn)而得到所求和的最小值．

解答 解：函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)曲線y=lnx與直線y=x的平行線相切的切點(diǎn)為（m，n），
可得$\frac{1}{m}$=1，即m=1，可得切點(diǎn)為（1，0），
此時(shí)PR的最小值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)曲線y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）與直線y=x的平行線相切的切點(diǎn)為（s，t），
可得$\frac{1}{{s}^{2}}$=1，即s=1，可得切點(diǎn)為（1，0），
此時(shí)RQ的最小值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則P，Q重合為（1，0），R為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
|PR|+|RQ|取得最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查最值的求法，屬于中檔題．