Question

若不等式2x-1＞m（x²-1）對-

1

2

≤x≤

1

2

都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以通過參變量分離，求出相應(yīng)函數(shù)的最值，得出本題的結(jié)論．

解答： 解：∵-

1

2

≤x≤

1

2

，
∴x²-1＜0，
∵不等式2x-1＞m（x²-1）對-

1

2

≤x≤

1

2

都成立，
∴m＞

2x-1

x2-1

．
記y=

2x-1

x2-1

=

-2( 1 2 -x)

x2-1

，（-

1

2

≤x≤

1

2

），
設(shè)t=

1

2

-x，
則有x=

1

2

-t，t∈[0，1]，
y=g(t)=-

2t

( 1 2 -t)2-1

=

-2t

t2-t- 3 4

，

-2

t- 3 4t -1

≤

8

3

當(dāng)t=0時，g（t）=0，∴m＞0；
當(dāng)t≠0時，g(t)=

-2

t- 3 4t -1

，t∈（0，1]，
∵t-

3

4t

≤

1

4

，
∴t-

3

4t

-1≤-

3

4

，
∴

1

t- 3 4t -1

≥-

4

3

，
∴

-2

t- 3 4t -1

≤

8

3

，
即g(t)≤

8

3

．
∴m＞

8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了參變量分離法和換元法，本題思維難度適中，運(yùn)算量略大，屬于中檔題．