Question

【題目】若四位數(shù)的各位數(shù)碼中，任三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長，則稱n為“四位三角形數(shù)”.試求所有四位三角形數(shù)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】1681

【解析】

稱（）為n的數(shù)碼組,則

1.當(dāng)數(shù)碼組只含一個(gè)值，即 時(shí)，共得9個(gè)n值.

2.當(dāng)數(shù)碼組恰含兩個(gè)值

i.數(shù)碼組為型，則任取三個(gè)數(shù)碼皆可構(gòu)成三角形

對(duì)于每個(gè)，b可取個(gè)值

則數(shù)碼組個(gè)數(shù)為.

對(duì)于每組，b有4種占位方式.

于是，這種n有個(gè).

ii.數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有.

如下表，共得16個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，有4種占位方式.

于是，這種n有個(gè).

的取值	1	2	3	4	5	6	7	8	9
中的個(gè)數(shù)	0	1	2	3	4	3	2	1	0

iii.數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，有.

同上得16個(gè)數(shù)碼組，對(duì)于每組，兩個(gè)有種占位方式.

則這種n有個(gè).

以上共計(jì)144+64+96=304個(gè).

3.當(dāng)數(shù)碼組恰含三個(gè)值.

i.數(shù)碼組為型，據(jù)構(gòu)成三角形條件，則有.

這種有14組，每組中有種占位方式.

于是，這種n有個(gè).

ii.數(shù)碼組為型，.

此條件等價(jià)于中取3個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成三角形的方法數(shù).

有34組，每組中有種占位方式.

于是，這種n有個(gè).

iii.數(shù)碼組為型，，同情況ii，有個(gè)n值.

以上共計(jì)168+408+408=984個(gè).

4. 互不相同，則有.

這種有16組，每組有種排法.

共得個(gè)n值.

綜上，全部四位三角形數(shù)n的個(gè)數(shù)為9+304+984+384=1681（個(gè)）