Question

【題目】已知正多面體共有5種，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.任一個(gè)正多面體都有內(nèi)切球和外接球，若一個(gè)半徑為1的球既是一個(gè)正四面體的內(nèi)切球，又是一個(gè)正六面體的外接球，則這兩個(gè)多面體的頂點(diǎn)之間的最短距離為（ ）

A.－1B.1C.2－1D.2

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先明確正四面體、正方體和球之間的關(guān)系，利用幾何體的特征，以及點(diǎn)與球面上點(diǎn)之間距離的最值條件，求得結(jié)果.

固定正四面體不動(dòng)，則其內(nèi)切球也隨之固定，

考慮頂點(diǎn)與正六面體（即正方體）的頂點(diǎn)的距離，

當(dāng)正方體的頂點(diǎn)在球面上移動(dòng)時(shí)，

頂點(diǎn)到球面上點(diǎn)的距離最小值就是頂點(diǎn)與正方體頂點(diǎn)距離的最小值，

即當(dāng)球心和頂點(diǎn)A以及正方體的頂點(diǎn)共線(xiàn)且A和正方體的頂點(diǎn)落在球心同側(cè)時(shí)取得最小值，

由正四面體的內(nèi)切球半徑為1，根據(jù)正四面體的特征，可知球心到頂點(diǎn)的距離為3，

所以頂點(diǎn)到球面上點(diǎn)的距離最小值為，

故選：D.