Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：-=1寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），進(jìn)而可知-=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無(wú)關(guān)．
解答：解：類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），
其中-=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由k_PM=，k_PN=，
得k_PM•k_PN=•=，
將y²=x²-b²，n²=m²-b²，代入得k_PM•k_PN=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．