Question

某種商品每件進(jìn)價(jià)12元，售價(jià)20元，每天可賣出48件．若售價(jià)降低，銷售量可以增加，且售價(jià)降低x（0≤x≤8）元時(shí)，每天多賣出的件數(shù)與x²+x成正比．已知商品售價(jià)降低3元時(shí)，一天可多賣出36件．
（1）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（2）該商品售價(jià)為多少元時(shí)一天的銷售利潤最大？

Answer 1

分析：（1）確定每件商品的利潤，每天賣出的商品件數(shù)，即可求得該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極值，從而可得最大利潤．

解答：解：（1）由題意可設(shè)，每天多賣出的件數(shù)為k（x²+x），∴36=k（3²+3），∴k=3
又每件商品的利潤為（20-12-x）元，每天賣出的商品件數(shù)為48+3（x²+x）
∴該商品一天的銷售利潤為f（x）=（8-x）[48+3（x²+x）]=-3x³+21x²-24x+384（0≤x≤8）
（2）由f'（x）=-9x²+42x-24=-3（x-4）（3x-2）
令f'（x）=0可得x=

2

3

或x=4
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

	0				4		8
		-	0	+	0	-
	384	↘	極小值	↗	極大值432	↘	0

∴當(dāng)商品售價(jià)為16元時(shí)，一天銷售利潤最大，最大值為432元

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式．