某種商品每件進價12元,售價20元,每天可賣出48件.若售價降低,銷售量可以增加,且售價降低x(0≤x≤8)元時,每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價降低3元時,一天可多賣出36件.
(1)試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大?
【答案】分析:(1)確定每件商品的利潤,每天賣出的商品件數(shù),即可求得該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)求導函數(shù),確定函數(shù)的極值,從而可得最大利潤.
解答:解:(1)由題意可設(shè),每天多賣出的件數(shù)為k(x2+x),∴36=k(32+3),∴k=3
又每件商品的利潤為(20-12-x)元,每天賣出的商品件數(shù)為48+3(x2+x)
∴該商品一天的銷售利潤為f(x)=(8-x)[48+3(x2+x)]=-3x3+21x2-24x+384(0≤x≤8)
(2)由f'(x)=-9x2+42x-24=-3(x-4)(3x-2)
令f'(x)=0可得或x=4
當x變化時,f'(x)、f(x)的變化情況如下表:
48
-+-
384極小值極大值432
∴當商品售價為16元時,一天銷售利潤最大,最大值為432元
點評:本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建,考查導數(shù)知識的運用,解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某種商品每件進價12元,售價20元,每天可賣出48件.若售價降低,銷售量可以增加,且售價降低x(0≤x≤8)元時,每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價降低3元時,一天可多賣出36件.
(1)試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣東省揭陽一中高二(下)第一次段考數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某種商品每件進價12元,售價20元,每天可賣出48件.若售價降低,銷售量可以增加,且售價降低x(0≤x≤8)元時,每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價降低3元時,一天可多賣出36件.
(1)試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2008-2009學年山東省濟南外國語學校高三(上)期末數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某種商品每件進價12元,售價20元,每天可賣出48件.若售價降低,銷售量可以增加,且售價降低x(0≤x≤8)元時,每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價降低3元時,一天可多賣出36件.
(1)試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江蘇省無錫一中高三(上)第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試卷.(理科)(解析版) 題型:解答題

某種商品每件進價12元,售價20元,每天可賣出48件.若售價降低,銷售量可以增加,且售價降低x(0≤x≤8)元時,每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比.已知商品售價降低3元時,一天可多賣出36件.
(1)試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù);
(2)該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案