Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+ax（a∈R）．
（1）若a=3，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率都小于2a²，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若?x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，看其f^′（x）在某區(qū)間上是大于0、還是小于0．即可判斷出單調(diào)區(qū)間．
（2）已知問題?2a2-a＞-x02+2x0對任意實數(shù)x₀恒成立?2a2-a＞[-x02+2x0]max，x∈R．解出即可．
（3）對x分x=0 與x∈（0，2]討論，對x∈（0，2]可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈（0，2]時，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，a＜[

1

3

x2-x]max．求出即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+ax（a∈R），∴f^′（x）=-x²+2x+a．
當(dāng)a=3時，f^′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）．
當(dāng)x∈（-∞，-1）或（3，+∞）時，f^′（x）＜0；當(dāng)x∈（-1，3）時，f^′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）或（3，+∞）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（-1，3）上單調(diào)遞增．
（2）∵f^′（x）=-x²+2x+a，∴函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點（x₀，f（x₀））處切線的斜率為f′(x0)=-x02+2x0+a，
由題意可知：對任意的實數(shù)x₀，-x02+2x0+a＜2a2恒成立．
即2a2-a＞-x02+2x0對任意實數(shù)x₀恒成立?2a2-a＞[-x02+2x0]max，x∈R．
令φ（x₀）=-x02+2x0，則φ（x₀）=-(x0-1)2+1≤1，∴[-x02+2x0]max=1．
∴2a²-a＞1，
解得a＞1，或a＜-

1

2

．
∴a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）∪（1，+∞）．
（3）①當(dāng)x=0時，f（0）=0，∵0＜0不可能，此時不存在a滿足要求；
②當(dāng)x∈（0，2]時，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，a＜[

1

3

x2-x]max．
∵φ（x）=

1

3

x2-x=

1

3

(x-

3

2

)2-

3

4

，∴φ（x）在區(qū)間（0，

3

2

）單調(diào)遞減，在區(qū)間(

3

2

，2]單調(diào)遞增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在區(qū)間（0，2]上無最大值．
經(jīng)驗證a=0 時適合題意．
∴a≤0．

點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、恒成立即存在性問題，轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵．