Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωx-2{cos^2}\frac{ω}{2}$x+1（ω＞0）直線y=2與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點$（\frac{B}{4}，0）$是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=2$\sqrt{3}$，a+c=6，求△ABC面積．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式及變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由題意和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出周期，由三角函數(shù)的周期公式求出ω的值；
（2）由正弦函數(shù)圖象的對稱中心和題意列出方程，由內(nèi)角的范圍求出角B，根據(jù)余弦定理可求ac的值，進而根據(jù)三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2cos²$\frac{ωx}{2}$+1=$\sqrt{3}$sinωx-（1+cosωx）+1
=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$），…（2分）
∵直線y=2與函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩交點的距離為π，
∴周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，…（4分）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（2）∵點$（\frac{B}{4}，0）$是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，
∴2×$\frac{B}{4}$-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），則B=2kπ+$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
由0＜B＜π，得B=$\frac{π}{3}$，…（8分）
∵b=2$\sqrt{3}$，a+c=6，
∴由余弦定理可得：12=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=36-3ac，解得：ac=8，…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查了二倍角余弦公式及變形，余弦定理，三角形面積公式，兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡、變形能力．