Question

討論函數(shù)y=x+

a

x

的定義域，值域，單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式可求得其定義域，先判斷函數(shù)的奇偶性，分a=0、a＞0和a＜0討論函數(shù)的值域和單調(diào)性．

解答： 解：要使函數(shù)函數(shù)y=x+

a

x

有意義，只要x≠0，
所以函數(shù)y=x+

a

x

的定義域是{x|x≠0}；
∵f（-x）=-x-a/x=-（x+

a

x

）=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）=x+

a

x

是奇函數(shù)
（1）a=0時(shí)，y=x，故函數(shù)的值域是{y|y≠0}，是單調(diào)增函數(shù)；   
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
∵y=x+

a

x

⇒xy=x²+a
⇒x²-xy+a=0
      又a＜0
∴對(duì)任意y，恒有△=y²-4a＞0
    故函數(shù)y的值域是（-∞，+∞）
∵y′=

x2-a

x2

＞0
∴原函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上單調(diào)遞增
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，同理可得x²-xy+a=0
∵此方程有實(shí)數(shù)解，且a＞0
∴△=y²-4a≥0⇒（y+2

a

）（y-2

a

）≥0
⇒y≤-2

a

，或y≥2

a

    故原函數(shù)的值域是（-∞，-2

a

][2

a

，+∞）
∵令y′=

x2-a

x2

＞0
∴x=

a

，或x=

a

∵當(dāng)x∈（-∞，-

a

）∪（

a

，+∞）時(shí)，y′=

x2-a

x2

＞0
      當(dāng)x∈（-

a

，0）∪（0，

a

）時(shí)，y′=

x2-a

x2

＜0
∴原函數(shù)在區(qū)間（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）上單調(diào)遞增
      原函數(shù)在區(qū)間（-

a

，0）和（0，

a

）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域、值域的求法、函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．