Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的單調性,不需要說明理由．

（2）判斷函數的奇偶性，并說明理由．

（3）對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增函數； （2）奇函數，理由見解析； （3）.

【解析】

（1）將函數化為，即可直接得出結果；

（2）先由解析式，得到函數定義域， 再由，即可判斷出結果；

（3）先由函數奇偶性與單調性，將原不等式化為，在恒成立，令，，分別討論，，三種情況，結合二次函數的單調性，即可得出結果.

（1）為上的增函數；

（2）根據題意，函數，其定義域為，

有，

則函數為奇函數；

（3）由（2）的結論，為上的奇函數，

則可化為：，

即，

又由在上是單調遞增的函數，則有，在恒成立；

即，在恒成立，

設，，則等價于即可．

即，

當時，函數在上單調遞增，其最小值為，得，不成立；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，其最小值為，解得，所以；

當時，函數在上單調遞減，其最小值為，可得，所以

綜上可得：的取值范圍為：．