【題目】已知橢圓過點(diǎn),且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),試問:是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,分析可得,可以將橢圓的方程設(shè)為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程,計(jì)算可得的值,即可得答案;
(Ⅱ)根據(jù)題意,按直線的位置關(guān)系分2種情況討論,當(dāng)與軸垂直時(shí),易得結(jié)論,當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,分析可得結(jié)論,綜合2種情況即可得答案.
(Ⅰ)解:因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
所以.所以橢圓的方程為.
又橢圓經(jīng)過點(diǎn),代入橢圓方程得.
所以. 故所求橢圓方程為.
(Ⅱ)解:由已知?jiǎng)又本過點(diǎn).
當(dāng)與軸平行時(shí),以為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與軸重合時(shí),以為直徑的圓的方程為.
所以兩圓相切于點(diǎn),即兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).
因此,所求點(diǎn)如果存在,只能是點(diǎn).
以下證明以為直徑的圓恒過點(diǎn):
當(dāng)與軸垂直時(shí),以為直徑的圓過點(diǎn);
當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè).
由 得.
由在橢圓內(nèi)部知成立.
設(shè),則.
又,,
所以
.
所以,即以為直徑的圓恒過點(diǎn).
所以存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極值,對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系中,點(diǎn),,是線段的中點(diǎn),以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求點(diǎn)的直角坐標(biāo),并求曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線過點(diǎn)交曲線于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè).對(duì)任意,都有,
求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某銷售公司擬招聘一名產(chǎn)品推銷員,有如下兩種工資方案:
方案一:每月底薪2000元,每銷售一件產(chǎn)品提成15元;
方案二:每月底薪3500元,月銷售量不超過300件,沒有提成,超過300件的部分每件提成30元.
(1)分別寫出兩種方案中推銷員的月工資(單位:元)與月銷售產(chǎn)品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從該銷售公司隨機(jī)選取一名推銷員,對(duì)他(或她)過去兩年的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下統(tǒng)計(jì)表:
月銷售產(chǎn)品件數(shù) | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
次數(shù) | 2 | 4 | 9 | 5 | 4 |
把頻率視為概率,分別求兩種方案推銷員的月工資超過11090元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人,每人日支米三升”。其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩,第一天派出64人,從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人,修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升”,在該問題中第3天共分發(fā)大米( )
A. 192升 B. 213升 C. 234升 D. 255升
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值,并畫出函數(shù)的圖象;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的圖象,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)結(jié)合圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,不需要說明理由.
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.
(3)對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的個(gè)數(shù)有_________
(1)已知變量和滿足關(guān)系,則與正相關(guān);(2)線性回歸直線必過點(diǎn) ;
(3)對(duì)于分類變量與的隨機(jī)變量,越大說明“與有關(guān)系”的可信度越大
(4)在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí),殘差平方和越小,相關(guān)指數(shù)的值越大,說明擬合的效果越好.
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