Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，試問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得，可以將橢圓的方程設(shè)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，計(jì)算可得的值，即可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，按直線的位置關(guān)系分2種情況討論，當(dāng)與軸垂直時(shí)，易得結(jié)論，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，分析可得結(jié)論，綜合2種情況即可得答案．

（Ⅰ）解：因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

所以.所以橢圓的方程為.

又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，代入橢圓方程得.

所以. 故所求橢圓方程為.

（Ⅱ）解：由已知?jiǎng)又本�過點(diǎn).

當(dāng)與軸平行時(shí)，以為直徑的圓的方程為；

當(dāng)與軸重合時(shí)，以為直徑的圓的方程為.

所以兩圓相切于點(diǎn)，即兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

因此，所求點(diǎn)如果存在，只能是點(diǎn).

以下證明以為直徑的圓恒過點(diǎn)：

當(dāng)與軸垂直時(shí)，以為直徑的圓過點(diǎn)；

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè).

由 得.

由在橢圓內(nèi)部知成立.

設(shè)，則.

又，，

所以

.

所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn).

所以存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件.