Question

設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3，an+1=an2﹣2nan+2，n∈N*．

（1）求出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（不需證明）；

（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試求使得2n＞Sn成立的最小正整數(shù)n，并給出證明．

 

Answer 1

（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1；（2）n＝6．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）先由遞推公式求，再猜想通項(xiàng)公式；（2）先進(jìn)行猜想驗(yàn)證，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

規(guī)律總結(jié)：歸納推理是合情推理的一種，對(duì)數(shù)學(xué)定理、結(jié)論的求解起到非常重要的作用；此類(lèi)題型的關(guān)鍵是通過(guò)已知的項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的規(guī)律與聯(lián)系，進(jìn)而提出猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

試題解析：（1）a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.

（2）Sn＝＝n2＋2n，

使得成立的最小正整數(shù)n＝6.

下證：n≥6（n∈N*）時(shí)都有2n>n2＋2n.

①n＝6時(shí)，26>62＋2×6，即64>48成立；

②假設(shè)n＝k（k≥6，k∈N*）時(shí)，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2（k2＋2k）＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝（k＋1）2＋2（k＋1），即n＝k＋1時(shí)，不等式成立；

由①、②可得，對(duì)于所有的n≥6（n∈N*）

都有2n>n2＋2n成立.

考點(diǎn)：1.歸納推理；2.數(shù)學(xué)歸納法.