Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是線段AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅲ）求PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明AD⊥PE，再證明PE⊥AB．AD∩AB=A，推出PE⊥平面ABCD．然后證明PE⊥CD．
（Ⅱ）說明PE是四棱錐P-ABCD的高．求出PE=．然后求出．
（Ⅲ）以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．推出，，．設(shè)=（x，y，z）為平面PDE的法向量．利用由即，可得=（1，-2，0）．設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ．利用．推出PC與平面PDE所成角的正弦值為．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳D⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，
所以PE⊥AB．
因?yàn)锳D∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱錐P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=AD，可得BC=1．
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，
可求得PE=．
所以．（9分）
（Ⅲ）解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．
則E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．
，，．
設(shè)=（x，y，z）為平面PDE的法向量．
由即，
令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ．
．
所以PC與平面PDE所成角的正弦值為．（14分）
點(diǎn)評：本題是中檔題，利用空間直角坐標(biāo)系通過向量的計(jì)算，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，常考題型．