Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），對(duì)于定義域內(nèi)任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)f（x），x＞1時(shí)f（x）＜0恒成立．
（1）求f（1）；
（2）證明：函數(shù)f（x），f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)；
（3）若x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根據(jù)函數(shù)f（x）（x∈R，且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），我們易構(gòu)造關(guān)于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）．
（2）任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0恒成立，故f（

x2

x1

）＜0，由此能證明f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，

x2+2x+a

x

＞1恒成立，由此能求出a的范圍．

解答：解：（1）∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），
對(duì)于定義域內(nèi)任意的x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
（2）證明：任取0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0恒成立，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）-f（x₁）-f（

x2

x1

）=-f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（

x2+2x+a

x

）＜f（1）恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞1恒成立，
∵x≥1時(shí)，-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤-2，
∴a＞-2．
故a的范圍是（-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，其中（1）的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用，（2）的關(guān)鍵是定義法的應(yīng)用，（3）的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．