Question

已知函數(shù)f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，求a、b的值；
（2）設(shè)x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，且|x₁|+|x₂|=2，試用a表示b²；
（3）求證：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=ax²+bx-a²，由于函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，可得

f′(2)=7 f(2)=-6

，解出即可；
（2）由于x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，可得x₁，x₂是方程ax²+bx-a²=0的兩個實(shí)數(shù)根，可得x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a，由b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），可得b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，利用|x₁|+|x₂|=2，a＞0，可得

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x1x2，即可得出．
（3）設(shè)y=b²=4a²-4a³，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=ax²+bx-a²，
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=7x-20，
∴

f′(2)=7 f(2)=-6

，即

4a+2b-a2=7 8 3 a+2b-2a2=-6

，解得

a=3 b=2

．
（2）∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx-a²=0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2=-

b

a

，x₁x₂=-a，
∴b=-a（x₁+x₂）=x₁x₂（x₁+x₂），
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2x1x2)，
∵|x₁|+|x₂|=2，∴

x

2 1

+

x

2 2

+2|x1x2|=4，
∵a＞0，∴x₁x₂=-a＜0，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=4+2x1x2，
∴b²=(x1x2)2(

x

2 1

+

x

2 2

+2xx)=a²（4+4x₁x₂）=a²（4-4a）=4a²-4a³（a＞0）．
（3）設(shè)y=b²=4a²-4a³，∴y′=8a-12a²，令y′=0，又a＞0，解得a=

2

3

．
當(dāng)a＞

2

3

時(shí)，y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜

2

3

時(shí)，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增．
∴當(dāng)a=

2

3

時(shí)，函數(shù)y取得極大值，也是最大值，且最大值為

16

27

，
∴b2≤

16

27

，
∴|b|≤

4 3

9

．

點(diǎn)評：本題查克拉利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．