Question

（文科）已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），設(shè)f（x）=2

a

•

b

+m+1（m∈R）
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算和余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=2

a

•

b

+m+1=2(cos

3

2

xcos

1

2

x-sin

3

2

xsin

1

2

x)+m+1=2cos2x+m+1．
由2kπ-π＜2x≤2kπ，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z）．
又x∈[0，π]，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

2

，π]．
（2）∵函數(shù)f（x）在x∈[0，

π

6

]上的單調(diào)遞減，
∴f（x）的最小值為f(

π

6

)=m+2，最大值為f（0）=m+3，
∵-4＜f（x）＜4恒成立
∴

m+3＜4 m+2＞-4

，
解得-6＜m＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算和余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．