Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F(xiàn)為弦AC的中點(diǎn)，連接OF并延長交 于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BA的延長線于點(diǎn)E．

（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ED與⊙O相切于D，

∴OD⊥DE，

∵F為弦AC中點(diǎn)，

∴OD⊥AC，

∴AC∥DE．

（2）

解：作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD．

首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S平行四邊形ACDE=AEDM，只要求出DM即可．

∵AC∥DE，AE=AO，

∴OF=DF，

∵AF⊥DO，

∴AD=AO，

∴AD=AO=OD，

∴△ADO是等邊三角形，同理△CDO也是等邊三角形，

∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，

∴AO∥CD，又AE=CD，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，易知DM= a，

∴平行四邊形ACDE面積= a2．

【解析】本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．（1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD，首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據(jù)S平行四邊形ACDE=AEDM，只要求出DM即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的性質(zhì)和垂徑定理的推論的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．