【題目】在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(x1 , y1),點Q的坐標為(x2 , y2),且x1≠x2 , y1≠y2 , 若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關矩形”,如圖為點P,Q的“相關矩形”示意圖.

(1)已知點A的坐標為(1,0),
①若點B的坐標為(3,1),求點A,B的“相關矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關矩形”為正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑為 ,點M的坐標為(m,3),若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為正方形,求m的取值范圍.

【答案】
(1)

解:(1)①∵A(1,0),B(3,1)

由定義可知:點A,B的“相關矩形”的底與高分別為2和1,

∴點A,B的“相關矩形”的面積為2×1=2;

②由定義可知:AC是點A,C的“相關矩形”的對角線,

又∵點A,C的“相關矩形”為正方形

∴直線AC與x軸的夾角為45°,

設直線AC的解析為:y=x+m或y=﹣x+n

把(1,0)分別y=x+m,

∴m=﹣1,

∴直線AC的解析為:y=x﹣1,

把(1,0)代入y=﹣x+n,

∴n=1,

∴y=﹣x+1,

綜上所述,若點A,C的“相關矩形”為正方形,直線AC的表達式為y=x﹣1或y=﹣x+1;


(2)

解:設直線MN的解析式為y=kx+b,

∵點M,N的“相關矩形”為正方形,

∴由定義可知:直線MN與x軸的夾角為45°,

∴k=±1,

∵點N在⊙O上,

∴當直線MN與⊙O有交點時,點M,N的“相關矩形”為正方形,

當k=1時,

作⊙O的切線AD和BC,且與直線MN平行,

其中A、C為⊙O的切點,直線AD與y軸交于點D,直線BC與y軸交于點B,

連接OA,OC,

把M(m,3)代入y=x+b,

∴b=3﹣m,

∴直線MN的解析式為:y=x+3﹣m

∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,

∴OD= OA=2,

∴D(0,2)

同理可得:B(0,﹣2),

∴令x=0代入y=x+3﹣m,

∴y=3﹣m,

∴﹣2≤3﹣m≤2,

∴1≤m≤5,

當k=﹣1時,把M(m,3)代入y=﹣x+b,

∴b=3+m,

∴直線MN的解析式為:y=x+3+m,

同理可得:﹣2≤3+m≤2,

∴﹣5≤m≤﹣1;

綜上所述,當點M,N的“相關矩形”為正方形時,m的取值范圍是:1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1


【解析】(1)①由相關矩形的定義可知:要求A與B的相關矩形面積,則AB必為對角線,利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度,進而可求出該矩形的面積;②由定義可知,AC必為正方形的對角線,所以AC與x軸的夾角必為45,設直線AC的解析式為;y=kx+b,由此可知k=±1,再(1,0)代入y=kx+b,即可求出b的值;
   。2)由定義可知,MN必為相關矩形的對角線,若該相關矩形的為正方形,即直線MN與x軸的夾角為45°,由因為點N在圓O上,所以該直線MN與圓O一定要有交點,由此可以求出m的范圍.

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