Question

9．宏利重工有限公司從2012年起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月遞增2萬元的處罰．如果從2012年一月起投資400萬元增加回收凈化設(shè)備以改善生產(chǎn)環(huán)境（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)）．按測(cè)算，新設(shè)備投產(chǎn)后的月收入與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．
（1）設(shè)f（n）表示投資改造后的前n個(gè)月的總收入，請(qǐng)寫出f（n）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試問：經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，也就是說，投資改造后的月累計(jì)純收入多于不改造時(shí)的月累計(jì)純收入？

Answer 1

分析 （1）a_i表示第i個(gè)月的收入，則由圖可得數(shù)列的前5項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，第6項(xiàng)開始是常數(shù)列，從而求出投資改造設(shè)備后，累計(jì)收入f（n）與生產(chǎn)時(shí)間n的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先比較改造設(shè)備后前5個(gè)月的純收入與不改造設(shè)備前5個(gè)月的純收入可知5個(gè)月內(nèi)投資不能見成效，然后根據(jù)投資改造設(shè)備后的純收入多于不改造設(shè)備時(shí)的純收入建立關(guān)系式，解之即可．

解答 解：（1）a_i表示第i個(gè)月的收入，則由圖可得數(shù)列的前5項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，第6項(xiàng)開始是常數(shù)列．
∴f（x）=n²+100n（n≤5，n∈N）．…（4分）
當(dāng)n＞5，n∈N時(shí)，
f（n）=525+（n-5）[525-416]=109n-20．…（7分）
∴f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+100n，1≤n≤5，n∈N}\\{109n-20，n＞5，n∈N}\end{array}\right.$…（8分）
（2）改造設(shè)備后前5個(gè)月的純收入：5²+100×5-400=125，
不改造設(shè)備前5個(gè)月的純收入：70×5-[1+3+5+7+9]=325，
∵125＜325，
∴5個(gè)月內(nèi)投資不能見成效，…（10分）
當(dāng)n＞5，n∈N時(shí)，109n-20-400＞$70n-[n+\frac{n（n-1）}{2}×2]$，
化簡(jiǎn)，得n²+39n-420＞0，…（13分）
當(dāng)5＜n≤8時(shí)，n²+39n-420＜0，
當(dāng)n≥9時(shí)，n²+39n-420＞0．
即至少經(jīng)過9個(gè)月，投資改造設(shè)備后的純收入才能多于不改造設(shè)備時(shí)的純收入．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，以及函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．