Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當(dāng)橋上的的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達(dá)到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的表達(dá)式為=；（Ⅱ）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．

試題分析：(1)由車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，可得時，；又時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)，設(shè)，利用時及時可求出，據(jù)此可求表達(dá)式．（2）是關(guān)于的分段函數(shù)，求出每段的最大值，再比較可得的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意：當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)
，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得
故函數(shù)的表達(dá)式為=
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當(dāng)時，為增函數(shù)，故當(dāng)時，其最大值為；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．
所以，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值．
綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上取得最大值，
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．