Question

若x，y是正數(shù)，則(x＋)²＋(y＋)²的最小值是

[　　]

A．

3

B．

C．

4

D．

Answer 1

答案：C
解析：

本題中的代數(shù)式展開后可出現(xiàn)利用基本不等式的結(jié)構(gòu)，若注意到字母x，y在所給條件中的等價(jià)性，聯(lián)系基本不等式的知識，可知當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)可取到最小值． 　　方法一：∵將命題x，y的位置對調(diào)之后，命題的形式不變， 　　∴取到最小值時(shí)，x＝y(tǒng)，此時(shí)原式＝2(x＋)2≥＝4， 　　取“＝”的條件為x＝y(tǒng)＝． 　　方法二：(x＋)2＋(y＋)2 　�。�(x2＋)＋(y2＋)＋(＋)≥1＋1＋2＝4， 　　當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，式子取得最小值4． 　　方法三：∵x＞0，y＞0， 　　∴(x＋)2≥． 　　(y＋)2≥． 　　∴(x＋)2＋(y＋)2≥≥4． 　　當(dāng)且僅當(dāng)y＝且x＝，且， 　　即x＝y(tǒng)＝時(shí)取“＝”號．

提示：

本題的方法二與方法三都用了不止一次基本不等式求范圍，方法二中包含三個(gè)可用基本不等式的結(jié)構(gòu)式，方法三是先有兩個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式用了基本不等式，然后出現(xiàn)的新結(jié)構(gòu)式又用了一次基本不等式．這種處理方法是有前提條件的，也就是說對一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)式重復(fù)使用基本不等式時(shí)，要注意“＝”的延續(xù)性，即不論使用了幾次基本不等式，取“＝”號時(shí)的x，y的值應(yīng)該是相同的，否則最后的“＝”號是取不到的，如方法三中用“y＝且x＝且”來限制“＝”號．