Question

16．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，則函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{3}$）是（　�。�

• A． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱
• B． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• C． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• D． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱

Answer 1

分析 首先，根據(jù)已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），然后根據(jù)最值正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)得到θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），再化簡函數(shù)f（x+$\frac{π}{3}$），從而求解問題．

解答 解：∵f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，
∴$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），則θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$cosx，
∴該函數(shù)是偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對稱．
故選：C．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了輔助角公式、三角函數(shù)的最值、函數(shù)的基本性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．