Question

17．已知0≤x≤2求函數(shù)$y={（{\frac{1}{4}}）^{x-1}}-4{（{\frac{1}{2}}）^x}+2$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 由題意可得 x∈[0，2]，令t=2^x，則 y=4t²-4t+2，其對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最值

解答 解：設(shè)（$\frac{1}{2}$）^x=t，則t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
∴y=4t²-4t+2，其對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{2}$，
∴y在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，y有最小值，最小值為1-2+2=1，
當(dāng)t=1時(shí)，y有最大值，最大值為4-4+2=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的書寫思想，屬于中檔題．