Question

設(shè)f（x）=

x

a(x+2)

，方程f（x）=x有唯一解，數(shù)列{x_n}滿足f（x₁）=1，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．求數(shù)列{x_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用方程的唯一解求出a的值，得到函數(shù)的解析式，利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，寫出數(shù)列的遞推關(guān)系式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后求出新數(shù)列的通項公式，即可得到結(jié)果．

解答： 解：由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x有唯一解x=0，∴f（x）=

2x

x+2

…（6分）
當(dāng)f （x₁）=1得x₁=2，由x_n+1=f（x_n）=

2xn

xn+2

，得

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

，
∴數(shù)列

1

xn

是首項為

1

x1

=

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列
∴

1

xn

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
故xn=

2

n

…（13分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等差數(shù)列的判斷，考查計算能力．