Question

如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

解：（1）依題意，∵甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同
∴，…（1分）
解得a=3．…（2分）
（2）根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分都為．…（3分）
所以乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為．
…（5分）
（3）分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果．…（6分）
這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有情況如下表：

	87	89	96	96
87	0	2	9	9
93	6	4	3	3
93	6	4	3	3
95	8	6	1	1

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，9．…（8分）
由表可得，，，，，，，．
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	6	8	9
P

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為=．…（12分）
分析：（1）根據(jù)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分相同，建立方程，即可求得a的值；
（2）根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分，進(jìn)而可求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，求出兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值X的所有可能取值，求出相應(yīng)的概率，從而可得隨機(jī)變量X的分布列和均值
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查統(tǒng)計(jì)、方差、隨機(jī)變量的分布列、均值（數(shù)學(xué)期望）等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)．