Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²-ax+1．
（I）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為4，求實數(shù)a的值；
（II）若函數(shù)g（x）=f'（x）在區(qū)間（-1，1）上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求得f'（x）=3x²+4x-a，根據(jù)已知條件可得f′（1）=7-a=4，可以得出a=3；
（II）函數(shù)g（x）=f'（x）在區(qū)間（-1，1）上存在零點?直線y=a與曲線y=3x²+4x，x∈（-1，1）有公共點，求出函數(shù)y=3x²+4x在區(qū)間（1，1）上的值域，實數(shù)a也應(yīng)在這個值域中，因此可以得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由題意得g（x）=f'（x）=3x²+4x-a．
（I）f'（1）=3+4-a=4∴a=3；
（II）g（x）=f'（x）在區(qū)間（-1，1）上存在零點，
等價于3x²+4x=a在區(qū)間（-1，1）上有解，
也等價于直線y=a與曲線y=3x²+4x，x∈（-1，1）有公共點，
由函數(shù)y=g（x）的圖象可得  ．
點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題的求解常會轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．