設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且
,
其中為常數(shù).
(Ⅰ)求與的值;
(Ⅱ)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(Ⅲ)證明:不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立.
,.
解:(Ⅰ)由已知,得,,.
由,知
即
解得 ,.
(Ⅱ)方法1
由(Ⅰ),得 , ①
所以 . ②
②-①,得 , ③
所以 . ④
④-③,得 .
因?yàn)?nbsp; ,
所以 .
又因?yàn)?nbsp; ,
所以 ,
即 ,.
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
方法2
由已知,得,
又,且,
所以數(shù)列是唯一確定的,因而數(shù)列是唯一確定的.
設(shè),則數(shù)列為等差數(shù)列,前項(xiàng)和.
于是 ,
由唯一性得 ,即數(shù)列為等差數(shù)列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,.
要證 ,
只要證 .
因?yàn)?nbsp; ,,
故只要證 ,
即只要證 .
因?yàn)?nbsp;
,
所以命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意正整數(shù),都有成立。
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011屆浙江省杭州市七校高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)問(wèn)數(shù)列中是否存在某三項(xiàng),它們可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國(guó)卷Ⅱ) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知,,。
(Ⅰ)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆河南省高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知
(Ⅰ)求證:數(shù)列為等差數(shù)列,并寫(xiě)出關(guān)于的表達(dá)式;
(Ⅱ)若數(shù)列前項(xiàng)和為,問(wèn)滿足的最小正整數(shù)是多少?
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