Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2-n）x-2n的圖象與x軸正半軸的交點(diǎn)為A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令為正整數(shù)），對(duì)任意的正整數(shù)n，都有b_n+1＞b_n，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0
得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n

（2）b_n=3ⁿ+λ•2ⁿ，
b_n+1=3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹

因?yàn)閎_n+1＞b_n對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立，
即：3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+λ•2ⁿ恒成立 

2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，
∴

∵，
∴
∴λ＞-3

分析：（1）根據(jù)題意將方程f（x）=0化成一元二次方程，解出此方程的根，由條件正數(shù)的那個(gè)解即為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，得，通過(guò)作差將b_n+1＞b_n變形，得2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，再利用變量分離可得，最終可以求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．注意解題時(shí)運(yùn)用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，和利用變量分離的思路處理不等式的技巧．