Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別在x軸，y軸正半軸上移動(dòng)，則

OB

•

OC

≥1+

3

2

的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：設(shè)∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．可得x_B=2cosθ+2sinθ，y_B=2cosθ，x_C=2sinθ，y_C=2sinθ+2cosθ．再利用數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性得出4＜

OB

•

OC

≤8，即可求出概率．

解答： 解：設(shè)∠OAD=θ，0＜θ＜

π

2

．
則x_B=cosθ+sinθ，y_B=cosθ，x_C=sinθ，y_C=sinθ+cosθ．
∴B（cosθ+sinθ，cosθ），C（sinθ，sinθ+cosθ），
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，sinθ+cosθ）
=（cosθ+sinθ）×sinθ+cosθ（sinθ+cosθ）
=sinθcosθ+sin²θ+sinθcosθ+cos²θ
=sin2θ+1．
∵0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，
∴0＜sin2θ≤1．
∴1＜sin2θ+1≤2．
∴1＜

OB

•

OC

≤2，
∵

OB

•

OC

≥1+

3

2

，
∴

OB

•

OC

≥1+

3

2

的概率為

3

2

-1．
故答案為：

3

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．