Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+

e2

x

�。▁＞0）．
（1）若y=g（x）-m有零點，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g（x）-f（x）=0有兩個相異實根．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由基本不等式可得g（x）=x+

e2

x

≥2

x• e2 x

=2e，從而求m的取值范圍；
（2）令F（x）=g（x）-f（x）=x+

e2

x

+x²-2ex-m+1，求導(dǎo)F′（x）=1-

e2

x2

+2x-2e=（x-e）（

x+e

x2

+2）；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而確定m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=x+

e2

x

≥2

x• e2 x

=2e；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=

e2

x

，即x=e時，等號成立）
∴若使函數(shù)y=g（x）-m有零點，
則m≥2e；
故m的取值范圍為[2e，+∞）；
（2）令F（x）=g（x）-f（x）
=x+

e2

x

+x²-2ex-m+1，
F′（x）=1-

e2

x2

+2x-2e=（x-e）（

x+e

x2

+2）；
故當(dāng)x∈（0，e）時，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（e，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0；
故F（x）在（0，e）上是減函數(shù)，在（e，+∞）上是增函數(shù)，
故只需使F（e）＜0，
即e+e+e²-2e²-m+1＜0；
故m＞2e-e²+1．

點評：本題考查了基本不等式的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了函數(shù)零點的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．