Question

如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=AD，CD=2AB，E為PC中點．若PB與平面ABCD所成的角為45°
（1）求異面直線PD與BE所成角的大��；
（2）求二面角E-BD-C的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線PD與BE所成角為θ，由cosθ=|cos＜

PD

，

BE

＞|=

| PD • BE |

| PD |•| BE |

，利用向量法能求出異面直線PD與BE所成角．
（2）求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-C的大�。�

解答： 解：（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=AD=1，則CD=2，AP=AB=1，
P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0），
B（1，0，0），E（1，

1

2

，

1

2

），

PD

=（0，1，-1），

BE

=（0，

1

2

，

1

2

），
設(shè)異面直線PD與BE所成角為θ，
cosθ=|cos＜

PD

，

BE

＞|=

| PD • BE |

| PD |•| BE |

=

1 2 - 1 2

2 • 1 2

=0，
∴異面直線PD與BE所成角為90°．
（2）

DB

=（1，0，0），

DE

=（1，

1

2

，

1

2

），
設(shè)平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • DB =x=0 n • DE =x+ 1 2 y+ 1 2 z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，-1），
又平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

=

2

2

．
∴θ=45°．
∴二面角E-BD-C的大小為45°．

點評：本題考查異面直線PD與BE所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．