Question

14．已知圓C過點A（2，-1），B（0，-3），且圓心在直線y=-2x上
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，且截距不為零，求此切線的方程；
（Ⅲ）從圓C外一點P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值時的P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)斜率公式和中點坐標(biāo)公式，集合條件求出AB的斜率k和中點坐標(biāo)，由直線垂直的條件、點斜式方程求出線段AB中垂線的方程，由題意聯(lián)立兩直線的方程求出圓心C的坐標(biāo)，利用兩間點的距離公式求出半徑，可得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由題意和截距式方程設(shè)出切線的方程，利用點到直線的距離公式、圓的切線條件列出方程，可得切線的方程；
（Ⅲ）由切線的性質(zhì)得PM⊥CM，由條件和勾股定理列出方程，化簡后可得動點P的軌跡方程，由條件知|PM|的最小值就是|PO|的最小值，即為原點O到直線2x+4y+5=0的距離，由直線垂直求出PO的方程，聯(lián)立后求出此時P點的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵點A（2，-1）、B（0，-3），
∴直線AB的斜率為k=$\frac{-1-（-3）}{2-0}$=1，線段AB的中點為（1，-2），
則線段AB垂直平分線的方程為y+2=-（x-1），化簡得y=-x-1，
∵點A、B在圓上，且圓心在直線y=-2x上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-2x}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，則圓心C為（1，-2），
∴圓的半徑為r=|BC|=$\sqrt{{1}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+2）²=2；
（Ⅱ）由截距不為零設(shè)切線方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0，
∵直線l與圓C相切，∴$\frac{|1-2-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得a=1或a=-3，
∴此切線方程是x+y-1=0或x+y+3=0；
（Ⅲ）由題意得，PM⊥CM，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，∴|PO|²=|PC|²-|CM|²，
則（x₁-1）²+（y₁+2）²-2=x₁²+y₁²，化簡得2x₁-4y₁-3=0．
∴動點P的軌跡是直線2x-4y-3=0，
又|PM|=|PO|，則|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
∴|PO|的最小值為原點O到直線2x-4y-3=0的距離，此時直線PO的方程為2x+y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y-3=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{10}}\\{y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴此時P點的坐標(biāo)是（$\frac{3}{10}$，$-\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查圓的方程求法，直線與圓的位置關(guān)系判斷方法，圓的切線的性質(zhì)，點到直線的距離公式等，考查方程思想，化簡、變形能力．